Definisi, Aksioma, Postulat, Dalil, Lemma, Corollary, dan Teorema

Apa yang dimaksud tentang :

a. Definisi

Definisi merupakan sebuah pernyataan yang dibuat dengan menggunakan konsep yang tak terdefinisi atau konsep yang telah terdefinisi sebelumnya. Konsep yang tak terdefinisi didalam geometri misalnya adalah titik, garis, bidang dan ruang.

Sedangkan Definisi misalnya adalah definisi Sinar. Di dalam geometri kita mengenal sinar, dan definisi sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan suatu titik tetap dan titik-titik yang sepihak terhadap titik tetap itu.

b. Aksioma (berikan contohnya)

Aksioma adalah sebuah pernyataan dimana pernyataan yang kita terima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum, seta tanpa perlu adanya pembuktian dari kita. Bisa juga dikatakan adalah sebuah ketentuan yang pasti atau mutlak kebenarannya.

Untuk Aksioma misalnya seperti "Garis adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit dua titik", dan "Dua titik yang berlainan termuat dalam tepat satu garis".

Aksioma adalah proposisi yang di asumsikan benar , sehingga suatu pernyataan yang dapat dilihat kebenarannya dan bersifat umum tanpa perlu ada bukti .

Contoh aksioma :

1) untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif  penjumlahan )

2) jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka  garis itu seluruhnya terletak pada bidang .

Misalnya adalah didalam Geometri Insidensi telah disepakati ada 6 pernyataan yang menjadi acuan dan dikenal sebagai 6 aksioma Insidensi, dan berbeda lagi dengan Geometri Euclid.

Misalnya seperti aksioma diatas, "Garis adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit dua titik" dan ini merupakan salah satu dari 6 aksioma Insidensi dalam Geometri.

c. Postulat (berikan contohnya)

Postulat adalah sebuah pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa perlu adanya pembuktian. Sebagian orang mengatakan Postulat = Aksioma sehingga mereka dapat dipertukarkan, karena didalam suatu materi terkadang telah ditentukan pernyataan yang telah disepakati kebenarannya, sehingga disebut Aksioma.

Postulat adalah suatu anggapan yang dipandang jelas dengan sendirinya,pernyataan matematika yang di sepakati benar sehingga tak perlu dibuktikan dan dapat digunakan sebagai premis dan deduksi.

Contoh postulat :

“postulat geometri dengan mistar dan jangka”

1) Dapat dilukis garis lurus dari suatu titik ke titik yang lain

2) Dapat dihasilakan garis lurus terhingga dengan sembarang panjang

d. Dalil

Dalil atau teorema adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma, suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataan  itu dapat  ditunjukkan   bernilai   benar. Teorema atau dalil ini  dapat dibuktikan menggunakan alasan matematika  yang  tepat  berdasarkan aturan dan tata cara yang masuk akal.

e. Lemma (berikan contohnya)

Lemma adalah suatu teorema sederhana yang mana dipergunakan sebagai hasil-antara dalam pembuktian teorema yang lain.

Lemma adalah suatu pernyataan matematis didalam pembuktian suatu teorema. Lemma juga merupakan teorema sederhana yang digunakan sebagai batu pijakanuntuk pembuktian dalam teorema lain.  lemma juga digunakan untuk mengacu kepada sebuah pernyataan yang digunakan sebagai bagian untuk membuktikan sebuah teorema yang lebih besar. jadi Lemma merupakan alat bantu untuk membuktikan suatu teorema .

Contoh lemma :

1) Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0

2) Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebuat sama sudut

f. Corollary

Untuk Corolarry adalah sebuah proposisi yang mana secara langsung diperoleh dari suatu teorema yang sudah kita buktikan sebelumnya.

g. Teorema

Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataanya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau bernilai benar.

Misalnya adalah "Jika dua sudut masing-masing sudut siku-siku maka kedua sudut itu konkruen", dan "Jika dua sudut masing-masing besuplemen dengan suatu sudut (yang sama) maka mereka konkruen".

Epistemologi, Ontology, Metodologi, Struktur Logis, Implikasi Etis, Aspek Estetis matematika, danPeranan Matematika dalam Sejarah Peradaban manusia

2. Jelaskan tentang perincian bidang filsafat matematik secara sistematis mencakup :

a. Epistemologi matematika

Epistemologi atau teori pengetahuan membahas secara mendalam segenap proses yang terlihat dalam usaha kita untuk memperoleh pengetahuan (Suriasumantri, 2006). The Liang Gie (1985) mengatakan bahwa epistemologi matematika adalah teori pengetahuan yang sasaran penelaahannya ialah pengetahuan matematika. 

Episte­mologi sebagai salah satu bagian dari filsafat merupakan pe­mikiran reflektif terhadap segi dari pengetahuan seperti kemungkinan, asal-mula, sifat alami, batas-batas, asumsi dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai ke­benaran pengetahuan. Sekelompok pertanyaan mengenai apakah matematika itu (pertanyaan yang diperbin­cangkan oleh para filsuf dan ahli matematik selama lebih dari­pada 2000 tahun), termasuk jenis pengetahuan apa (penge­tahuan empirik ataukah pengetahuan pra-pengalaman), bagaimana ciri-cirinya (deduktif, abstrak, hipotesis, eksak, simbolik, universal, rasional, dan kemungkinan ciri lainnya), serta lingkupan dan pembagian pengetahuan mate­matika (matematika murni dan matematik terapan serta berbagai cabang matematika yang lain), kesemua ini merupakan bahan-bahan pembahasan yang termasuk dalam epistemologi matematik. Demikian pula persoalan tentang kebenaran matematika seperti misal­nya sifat alaminya dan macamnya.

b. Ontology matematika

Ontologi pada saat ini diartikan atau dipandang sebagai teori mengenai apa yang ada. Jadi, sebenarnya ontologi matematika itu sendiri adalah teori-teori mengenai apa yang ada. Hubungan antara pandangan ontologis dengan matematika cukup banyak menimbulkan persoalan, seperti misalnya cakupan dari pernyataan matematika.

c. Metodologi matematika

Metodologi matematika adalah penelaahan terhadap metode yang khusus dipergunakan dalam matematika. Metode yang khusus dari mate­matika kini lazim dikenal sebagai axiomatic method (metode aksiomatik) atau hypothetical-deductive method (metode hipo­tetik-deduktif).

Thomas Greenwood dalam The Liang Gie (1985) mengatakan metode aksiomatik atau hipotetik-deduktif sebagai­mana dipakai dalam ilmu-ilmu teoritis dan khusus­nya matematika. Ini menyangkut problem-problem seperti pemilihan, kebebasan dan penyederhanaan dari istilah-istilah pangkal dan aksioma-aksioma, formalisasi dari batasan-batasan dan pembuktian­pembuktian, keruntutan dan kelengkapan dari teori yang disusun, serta penafsiran yang terakhir.

d. Struktur Logis dari Matematika

Struktur logika dari matematika merupakan bagian dari filsafat matematika yang membahas sasarannya sebagai se­buah struktur yang sepenuhnya bercorak logis. Struktur yang demikian itu tunduk pada kaidah-kaidah logika, mensyaratkan standar tinggi dalam ketelitian logis, dan mencapai kesimpulan-kesimpulan logis tanpa menghiraukan keadaan senyatanya dari dunia empirik. Jadi sifat alami dari matematika ialah logis dan bahkan penulisan dalam bidang pengetahuan matematika perlu pula dengan gaya yang logis.

e. Implikasi Etis dari Matematika

Perkembangan matematika yang amat luas dan kemajuan­nya yang luar biasa pesat dalam abad ini mau tidak mau mem­punyai implikasi-implikasi tertentu bagi perilaku manusia ter­utama yang bersifat etis dalam masyarakat. Sebagai contoh misalnya perkembangan aritmetik perduaan (binary arith­metic) yang berpadu dengan teknologi elektronik telah me­lahirkan macam-macam komputer untuk anekaragam tugas dari menyimpan data-data perseorangan, melakukan pem­bukuan uang, mengatur persediaan barang, menyiapkan surat-menyurat sampai menjual karcis tontotan.

f. Aspek Estetis dari Matematika

Ahli matematika Morris Kline dalam The Liang Gie (1985) menyatakan bahwa matematika yang baik harus memenuhi salah satu dari tiga ukur­an, yaitu kegunaan langsung dalam ilmu, kegunaan potensial, atau keindahan. Keindahan itu dapat tercapai karena adanya ide yang orisinal, kesederhanaan dalil, kecemerlangan jalan pikir­an atau sesuatu ciri lainnya dalam matematika. Ciri seni dan sifat indah merupakan aspek estetis dari matematika yang juga ditelaah oleh filsafat matematika.

g. Peranan Matematika dalam Sejarah Peradaban manusia

Sebagai penggerak dan pengguncang dunia manusia akan terus berkegiatan dalam bidang ilmu pengetahuan, dalam matematika, dan bahkan akan terus menaklukkan waktu, ruang, matahari, dan bintang-bintang (Naga, 1980). Peranan matematika dalam peradaban manusia dari zaman kuno sampai sekarang sangat penting dan merupakan suatu bagian dari filsafat matematika yang cukup mempesonakan untuk diperbincangkan.

pendapat tentang filsafat merupakan ayah dari matematik adalah keliru

1. Tunjukkan bahwa pendapat tentang filsafat merupakan ayah dari matematik adalah keliru!

Jawab:

Menurut The Liang Gie, sangat keliru jika dikatakan bahwa filsafat merupakan ayah atau ibu dari matematika. Matematika tidak pernah lahir dari filsafat, melainkan keduanya berkembang bersama-sama dengan saling memberikan persoalan-persoalan sebagai bahan masukan dan umpan balik. Sebagaimna dalam perkembangan sejarah manusia, kedua nya yaitu filsafat dan matematika tumbuh dan berkembang secara bersama-sama.

Matematika merupakan pengetahuan yang menyendiri dan sudah ada sejak dulu. Bahkan, matematika dan filsafat lahir di masa yang sama yaitu sekitar 640-546 sebelum masehi di Melitus, dan oleh tokoh yang sama yaitu Thales. Faktanya, matematika dan filsafat memiliki kaitan yang sangat erat. Keduanya bidang ini berkembang bersama-sama dengan saling memberikan umpan balik, serta saling melengkapi satu sama lain dan memperkuat kedudukannya dalam bidang keilmuan. Bahkan, filsafat dan matematika dinyatakan oleh Wesley Salmon sebagai The Twin Sisters.

#TugasKuliah #FilsafatPendidikanMatematika